{"id":74,"date":"2021-01-26T15:31:40","date_gmt":"2021-01-26T14:31:40","guid":{"rendered":"https:\/\/zuugs.hfh.ch\/wpmathematikbeibesonderembildungsbedarf\/?post_type=part&#038;p=74"},"modified":"2021-01-28T17:42:25","modified_gmt":"2021-01-28T16:42:25","slug":"brueche-prozente","status":"publish","type":"part","link":"https:\/\/zuugs.hfh.ch\/wpmathematikbeibesonderembildungsbedarf\/part\/brueche-prozente\/","title":{"raw":"Br\u00fcche, Prozente","rendered":"Br\u00fcche, Prozente"},"content":{"raw":"<h1><strong>Schwierigkeiten mit Bruchzahlen<\/strong><\/h1>\r\nDas Thema Br\u00fcche ist ein zentraler Inhalt im Mathematikunterricht des 2. Zyklus. Aufgrund der Komplexit\u00e4t von Br\u00fcchen treten nicht nur bei schw\u00e4cheren Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fclern h\u00e4ufig Schwierigkeiten auf. Dass Br\u00fcche einerseits feste Gr\u00f6ssen sind, andererseits aber immer auch eine relative Gr\u00f6sse, also ein Anteil einer anderen Gr\u00f6sse sein k\u00f6nnen, ist eine besondere Herausforderung.\r\n\r\nSchw\u00e4cheren Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fclern fehlt oft eine Gr\u00f6ssenvorstellung von Br\u00fcchen. Sie erkennen den Zusammenhang zwischen Br\u00fcchen und Dezimalzahlen nicht. Rechenaufgaben mit Br\u00fcchen versuchen sie dann mit unverstandenen Regeln zu l\u00f6sen und bringen diese entsprechend h\u00e4ufig durcheinander (Vgl. Lassnitzer &amp; Gaidoschik, 2007, S. 1)\r\n\r\nBei der F\u00f6rderung geht es daher zun\u00e4chst um den Aufbau eines fundamentalen Verst\u00e4ndnisses des Bruchbegriffs mit seinen verschiedenen Bedeutungen.\r\n<h1>Unterschiede zwischen nat\u00fcrlichen Zahlen und Bruchzahlen<\/h1>\r\nMit der Einf\u00fchrung der Bruchzahlen sind verschiedene Grund\u00fcberzeugungen, die in den ersten vier Schuljahren aufgebaut wurden und die bei den nat\u00fcrlichen Zahlen richtig waren, nicht mehr g\u00fcltig:\r\n<ul>\r\n \t<li>Die Zahldarstellung ist bei den nat\u00fcrlichen Zahlen eindeutig. Jede nat\u00fcrliche Zahl hat genau einen Namen, der aus einer Folge von Ziffern besteht.<\/li>\r\n \t<li>Eine Bruchzahl kann aber ganz unterschiedlich dargestellt werden.<\/li>\r\n \t<li>Jede nat\u00fcrliche Zahl hat einen Nachfolger und einen Vorg\u00e4nger. Bruchzahlen haben keinen unmittelbaren Nachfolger. Zwischen zwei Zahlen liegen unendlich viele andere Zahlen.<\/li>\r\n \t<li>Die nat\u00fcrlichen Zahlen beantworten die Frage \u00abwie viele\u00bb? Sie sind das Ergebnis eines Z\u00e4hlvorgangs. Nat\u00fcrliche Zahlen bestimmen die Anzahl (Kardinalaspekt) oder definieren einen Rangplatz (Ordinalaspekt). Br\u00fcche hingegen \u00abhaben viele Gesichter\u00bb. (Hefendehl-Hebecker, 1996) Sie sind eine relative Gr\u00f6sse und beschreiben einen Teil eines Ganzen, sie k\u00f6nnen aber auch eine absolute Gr\u00f6sse sein oder sie sind das Ergebnis einer Division.<\/li>\r\n \t<li>Bei den Br\u00fcchen k\u00f6nnen kleinere Zahlen sowohl kleinere Werte als auch gr\u00f6ssere Werte bedeuten. (Vgl. Schmassmann &amp; Moser Opitz, 2011, S. 71)<\/li>\r\n \t<li>Die Division ist mit den nat\u00fcrlichen Zahlen nicht immer restlos m\u00f6glich. Wenn die Division restlos m\u00f6glich ist, dann ist das Ergebnis immer kleiner als die geteilte Zahl. Mit Bruchzahlen sind Divisionen immer ohne Rest m\u00f6glich. Wird durch eine Bruchzahl dividiert, die kleiner als 1 ist, so ist das Ergebnis gr\u00f6sser als die geteilte Zahl.<\/li>\r\n \t<li>Werden zwei nat\u00fcrliche Zahlen multipliziert, die gr\u00f6sser sind als 1, so ist das Ergebnis gr\u00f6sser als jeder der beiden Faktoren. Ist einer von zwei Faktoren einer Multiplikation eine Bruchzahl, die kleiner als 1 ist, so ist das Ergebnis kleiner als der andere Faktor.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<h1>Alltagsbezug<\/h1>\r\nBr\u00fcche kommen im Alltag in unterschiedlichen Kontexten vor. Die Bruchzahl hat je nach Situation eine andere Bedeutung und muss inhaltlich richtig gedeutet werden. Gew\u00f6hnliche Br\u00fcche kommen im Alltag nur selten vor. Bei Musiknoten sprechen wir von ganzen, halben, viertel, achtel oder sechzehntel Noten, wir essen eine halbe Pizza oder vierteln einen Apfel, wir kaufen ein halbes Kilo Brot und finden in der Zeitung Inserate f\u00fcr eine 3 \u00bd-Zimmer-Wohnung.\r\n\r\n&nbsp;\r\n\r\nGrundvorstellungen\r\n\r\nZu Bruchzahlen gibt es viele unterschiedliche Grundvorstellungen (Vgl. Malle, 2004, 4 f. und Padberg &amp; Wartha, 2017, 19 ff.)\r\n\r\nDer Bruch als\r\n<ul>\r\n \t<li>Teil eines Ganzen,<\/li>\r\n \t<li>Teil mehrerer Ganze<\/li>\r\n \t<li>Operator,<\/li>\r\n \t<li>Resultat einer Division<\/li>\r\n \t<li>Verh\u00e4ltnis<\/li>\r\n \t<li>Quasikardinalzahl,<\/li>\r\n \t<li>Bruchzahl als Quasiordinalzahl, <em>Beispiel<\/em><\/li>\r\n \t<li>\u00a0absoluter Anteil<\/li>\r\n<\/ul>\r\nEs lassen sich zwar Verbindungen zwischen den verschiedenen Grundvorstellungen finden, aber zum L\u00f6sen von Aufgabenstellungen kann nicht beliebig eine der Grundvorstellungen ausgew\u00e4hlt werden, sondern es muss die passende Grundvorstellung aktiviert werden (vgl. Schink, 2012, S. Dies stellt Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler vor grosse Herausforderungen.\r\n\r\n&nbsp;\r\n<h1>Kernideen Bruch als Anteil<\/h1>\r\n<div>\r\n\r\nDer Bruch verstanden als Anteil von einem Ganzen ist eine zentrale Grundvorstellung. Der Anteil muss immer in Bezug zu einem Ganzen und zu einem Teil interpretiert werden.\r\n\r\nFolgende Kernideen m\u00fcssen aufgebaut werden:\r\n<ul>\r\n \t<li>Das Ganze kann variieren. Es kann ein Ding, ein geometrisches Objekt, eine Menge, eine Gruppe von Dingen sein.<\/li>\r\n \t<li>Das Ganze wird in gleich grosse Teile geteilt.<\/li>\r\n \t<li>Der Nenner gibt die totale Anzahl Teile an.<\/li>\r\n \t<li>Je gr\u00f6sser der Nenner, das heisst, in je mehr Teile das Ganze geteilt wird, desto kleiner werden die Teile.<\/li>\r\n \t<li>Der Z\u00e4hler gibt die Anzahl ausgew\u00e4hlter Teile an.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<div>\r\n\r\n&nbsp;\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div><\/div>","rendered":"<h1><strong>Schwierigkeiten mit Bruchzahlen<\/strong><\/h1>\n<p>Das Thema Br\u00fcche ist ein zentraler Inhalt im Mathematikunterricht des 2. Zyklus. Aufgrund der Komplexit\u00e4t von Br\u00fcchen treten nicht nur bei schw\u00e4cheren Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fclern h\u00e4ufig Schwierigkeiten auf. Dass Br\u00fcche einerseits feste Gr\u00f6ssen sind, andererseits aber immer auch eine relative Gr\u00f6sse, also ein Anteil einer anderen Gr\u00f6sse sein k\u00f6nnen, ist eine besondere Herausforderung.<\/p>\n<p>Schw\u00e4cheren Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fclern fehlt oft eine Gr\u00f6ssenvorstellung von Br\u00fcchen. Sie erkennen den Zusammenhang zwischen Br\u00fcchen und Dezimalzahlen nicht. Rechenaufgaben mit Br\u00fcchen versuchen sie dann mit unverstandenen Regeln zu l\u00f6sen und bringen diese entsprechend h\u00e4ufig durcheinander (Vgl. Lassnitzer &amp; Gaidoschik, 2007, S. 1)<\/p>\n<p>Bei der F\u00f6rderung geht es daher zun\u00e4chst um den Aufbau eines fundamentalen Verst\u00e4ndnisses des Bruchbegriffs mit seinen verschiedenen Bedeutungen.<\/p>\n<h1>Unterschiede zwischen nat\u00fcrlichen Zahlen und Bruchzahlen<\/h1>\n<p>Mit der Einf\u00fchrung der Bruchzahlen sind verschiedene Grund\u00fcberzeugungen, die in den ersten vier Schuljahren aufgebaut wurden und die bei den nat\u00fcrlichen Zahlen richtig waren, nicht mehr g\u00fcltig:<\/p>\n<ul>\n<li>Die Zahldarstellung ist bei den nat\u00fcrlichen Zahlen eindeutig. Jede nat\u00fcrliche Zahl hat genau einen Namen, der aus einer Folge von Ziffern besteht.<\/li>\n<li>Eine Bruchzahl kann aber ganz unterschiedlich dargestellt werden.<\/li>\n<li>Jede nat\u00fcrliche Zahl hat einen Nachfolger und einen Vorg\u00e4nger. Bruchzahlen haben keinen unmittelbaren Nachfolger. Zwischen zwei Zahlen liegen unendlich viele andere Zahlen.<\/li>\n<li>Die nat\u00fcrlichen Zahlen beantworten die Frage \u00abwie viele\u00bb? Sie sind das Ergebnis eines Z\u00e4hlvorgangs. Nat\u00fcrliche Zahlen bestimmen die Anzahl (Kardinalaspekt) oder definieren einen Rangplatz (Ordinalaspekt). Br\u00fcche hingegen \u00abhaben viele Gesichter\u00bb. (Hefendehl-Hebecker, 1996) Sie sind eine relative Gr\u00f6sse und beschreiben einen Teil eines Ganzen, sie k\u00f6nnen aber auch eine absolute Gr\u00f6sse sein oder sie sind das Ergebnis einer Division.<\/li>\n<li>Bei den Br\u00fcchen k\u00f6nnen kleinere Zahlen sowohl kleinere Werte als auch gr\u00f6ssere Werte bedeuten. (Vgl. Schmassmann &amp; Moser Opitz, 2011, S. 71)<\/li>\n<li>Die Division ist mit den nat\u00fcrlichen Zahlen nicht immer restlos m\u00f6glich. Wenn die Division restlos m\u00f6glich ist, dann ist das Ergebnis immer kleiner als die geteilte Zahl. Mit Bruchzahlen sind Divisionen immer ohne Rest m\u00f6glich. Wird durch eine Bruchzahl dividiert, die kleiner als 1 ist, so ist das Ergebnis gr\u00f6sser als die geteilte Zahl.<\/li>\n<li>Werden zwei nat\u00fcrliche Zahlen multipliziert, die gr\u00f6sser sind als 1, so ist das Ergebnis gr\u00f6sser als jeder der beiden Faktoren. Ist einer von zwei Faktoren einer Multiplikation eine Bruchzahl, die kleiner als 1 ist, so ist das Ergebnis kleiner als der andere Faktor.<\/li>\n<\/ul>\n<h1>Alltagsbezug<\/h1>\n<p>Br\u00fcche kommen im Alltag in unterschiedlichen Kontexten vor. Die Bruchzahl hat je nach Situation eine andere Bedeutung und muss inhaltlich richtig gedeutet werden. Gew\u00f6hnliche Br\u00fcche kommen im Alltag nur selten vor. Bei Musiknoten sprechen wir von ganzen, halben, viertel, achtel oder sechzehntel Noten, wir essen eine halbe Pizza oder vierteln einen Apfel, wir kaufen ein halbes Kilo Brot und finden in der Zeitung Inserate f\u00fcr eine 3 \u00bd-Zimmer-Wohnung.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Grundvorstellungen<\/p>\n<p>Zu Bruchzahlen gibt es viele unterschiedliche Grundvorstellungen (Vgl. Malle, 2004, 4 f. und Padberg &amp; Wartha, 2017, 19 ff.)<\/p>\n<p>Der Bruch als<\/p>\n<ul>\n<li>Teil eines Ganzen,<\/li>\n<li>Teil mehrerer Ganze<\/li>\n<li>Operator,<\/li>\n<li>Resultat einer Division<\/li>\n<li>Verh\u00e4ltnis<\/li>\n<li>Quasikardinalzahl,<\/li>\n<li>Bruchzahl als Quasiordinalzahl, <em>Beispiel<\/em><\/li>\n<li>\u00a0absoluter Anteil<\/li>\n<\/ul>\n<p>Es lassen sich zwar Verbindungen zwischen den verschiedenen Grundvorstellungen finden, aber zum L\u00f6sen von Aufgabenstellungen kann nicht beliebig eine der Grundvorstellungen ausgew\u00e4hlt werden, sondern es muss die passende Grundvorstellung aktiviert werden (vgl. Schink, 2012, S. Dies stellt Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler vor grosse Herausforderungen.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h1>Kernideen Bruch als Anteil<\/h1>\n<div>\n<p>Der Bruch verstanden als Anteil von einem Ganzen ist eine zentrale Grundvorstellung. Der Anteil muss immer in Bezug zu einem Ganzen und zu einem Teil interpretiert werden.<\/p>\n<p>Folgende Kernideen m\u00fcssen aufgebaut werden:<\/p>\n<ul>\n<li>Das Ganze kann variieren. Es kann ein Ding, ein geometrisches Objekt, eine Menge, eine Gruppe von Dingen sein.<\/li>\n<li>Das Ganze wird in gleich grosse Teile geteilt.<\/li>\n<li>Der Nenner gibt die totale Anzahl Teile an.<\/li>\n<li>Je gr\u00f6sser der Nenner, das heisst, in je mehr Teile das Ganze geteilt wird, desto kleiner werden die Teile.<\/li>\n<li>Der Z\u00e4hler gibt die Anzahl ausgew\u00e4hlter Teile an.<\/li>\n<\/ul>\n<div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Schwierigkeiten mit Bruchzahlen Das Thema Br\u00fcche ist ein zentraler Inhalt im Mathematikunterricht des 2. Zyklus. Aufgrund der Komplexit\u00e4t von Br\u00fcchen treten nicht nur bei schw\u00e4cheren Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fclern h\u00e4ufig Schwierigkeiten auf. 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